Az egy egyenletbe sűrített ökonometriai modellek ágazati és vállalati gyakorlatban egyaránt használt formái a termelési függvények, melyek nagy szerepet játszanak a termelési folyamatok leírásában. A termelési folyamat eredménye [volumene] nagy számú műszaki, gazdasági, természeti, társadalmi tényezőtől függ. Közgazdasági és műszaki elemzés útján határozhatók meg azok a termelési tényezők, melyek az adott gazdasági egységnél a legnagyobb hatással vannak a kibocsátásra. A matematikai, statisztikai elemzés e hatások modellezésével és mértékének számszerűsítésével foglalkozik. A termelési ráfordításokat termelési tényezőknek [factors of production] hívjuk. A termelési tényezőkhöz tartozik pl. a föld, a tőke, a nyersanyag és a munkaerő. A munkaerő [labour force] személyi termelési tényező, míg a többi termelési tényező tárgyi tényező. A tőkejavakat [capital goods] a termelés során állítják elő, s ide tartoznak a termelő- és szállító berendezések, épületek, számítógépek és egyéb gépek. A tőke fogalmát gyakran egy üzleti vállalkozás beindításához vagy fenntartásához szükséges pénzösszeg meghatározására használják, amit mi pénztőkének [financial capital] hívunk, míg a termelésben felhasznál tényezőket fizikai tőkének [physical capital] nevezzük. A fizikai tőkét holt munkának is hívjuk megkülönböztetve a munkaerőtől, az élőmunkától. A termelési függvények tehát, valamely gazdasági egység termelésének volumenét fejezik ki a vizsgált időszakban az élőmunka – ráfordítások, a fizikai tőkeráfordítások és egyéb termelési tényezők függvényében. A termelés eredménye és a termelési tényezők közötti összefüggést sztochasztikus formában, technikai [technológiai] egyenletekkel írják le. Az alapvető két termelési tényező, az élőmunka és holtmunka ráfordítások mellett, a termelési függvények tartalmazhatják az anyag-, és energia – ráfordításokat és egyéb tényezőket is. A termelési függvények segítségével a vállalat [általában a gazdaság] viselkedésének technológiai korlátait írhatjuk le. A technológiai korlátok [technological constraints] azt jelentik, hogy egy adott mennyiségű kibocsátás csak bizonyos ráfordítás – [input-] kombinációk révén valósítható meg, a vállalat a technológiailag megvalósítható termelési tervekre kénytelen korlátozni tevékenységét, vagyis már döntött az optimális termékösszetétel- és technológia kérdésében. [Az operációkutatás módszerei segítik az ilyen problémák megoldását, pl.: lineáris- és nem lineáris programozás].
A termelési függvény 2 termelési tényező (magyarázó) változó esetében: vagyis az eredeti változók logaritmusai között lineáris kapcsolat van:
A jelölések, y= termelés, x1= élőmunka – ráfordítások, x2= a fizikai tőkeráfordítások
A termelési függvények, mint ökonometriai modellek felírásánál feltételezik, hogy:
-
a vizsgált törvényszerűség időben állandó, vagy csak lassan változik, vagy ismert a változása;
-
az elemzés tárgya, a termelési eredmény közvetlenül vagy közvetve mérhető;
-
az elemzés tárgyára lényeges hatást gyakorló tényezők elhatárolhatók azoktól a tényezőktől, amelyeknek szerepe elhanyagolható;
-
az adatok hozzáférhetők és összehasonlíthatók.
Ha ismert a termelési függvény, akkor a termelési tényezők extrapolálásával a termelés jövőbeni értéke megbecsülhető.
Feltételezzük, hogy a termelési függvény (pl. hatványkitevős regressziós függvény) elsőrendű parciális derivált függvény pozitív, mai azt fejezi ki, hogy a termelési tényezők növekedésével a kibocsátás is nő. Ez azt jelenti, hogy a munkatényező vagy az állóeszköz-tényező rögzítésével mindig találunk olyan befektetési lehetőséget vagy foglalkoztatási lehetőséget, amellyel az állóeszköz-felhasználás vagy a munkaráfordítás utolsó növekménye is elősegíti a kibocsátás növekedését. Valamely termelési tényező határtermelékenysége [marginális produktivitása] tehát megmutatja, hogy mennyi többletkibocsátást hoz létre a felhasznált termelési tényező többletköltsége, miközben a termelési függvényben szereplő másik termelési tényező mennyisége változatlan marad. Közgazdaságilag nem tudjuk értelmezni azt, hogy a termelési függvény elsőrendű parciális deriváltja 0 vagy negatív, mert ez azt jelenti, hogy az egyik termelési függvény egységnyi növekedése esetén, miközben a többi termelési tényezők nagysága nem változik, a termelés nem változik vagy csökken. Alábbi tanulmányomban Dr. Sipos Béla: A Kondratyjev ciklusok alakulása. Toll és Igazság. Pénzügy-Gazdaság. 2024.05.28. bemutattam, hogy a Kondratyjev ciklusok Európában és az USA-ban az elmúlt 129 évben a következők szerint alakultak:
|
Felszálló ág kezdete |
Csúcspont |
Leszálló ág vége |
Periódus |
|
1896 |
[1929] |
1945 |
49 |
|
1945 |
[1973] |
2000 |
55 |
|
2000 |
[2025] ? |
1896-1929 között, majd 1945-1973 között voltak a felszálló ágak, a termelési függvények ebben a két időszakban népszerűek voltak. 1929-1945 és 1973-2000 között a gazdaság a leszálló ágakban voltak és a termelési függvényeket nem alkalmazták. A termelés ugyanis, ha csökken és az állóeszköz tényezőt egy egységgel növeljük, az állóeszköz határtermelékenysége csökkenni fog, mert az állóeszközök nem csökkenthetők rövid távon. A munkaerő viszont rövid távon elbocsájtással csökkenthető, így, ha a termelés csökken, az élőmunka határtermelékenysége még pozitív lehet.
A Határhaszon-elméletet egyik kidolgozója Alfred Marshall volt, aki 1890-ben megalkotta a Közgazdaságtan alapelvei (Principles of Economics) című művét, mely a közgazdaságtan alapműve volt. Cobb–Douglas-függvény megalkotói Charles Cobb matematikus és Paul Douglas közgazdász voltak, tanulmányuk 1928-ban jelent meg. (Cobb C.W. – Douglas P.H. [1928]: A theory of production. American Economic Review. Vol. 18.) Az 1929-33-as világválság után a termelési függvényekkel kapcsolatos kutatások abba maradtak. 1936-1945 között John Maynard Keynes munkássága volt meghatározó. (John Maynard Keynes. A foglalkoztatás, a kamat és a pénz általános elmélete (The General Theory of Employment, Interest and Money. Macmillan Cambridge University Press, for Royal Economic Society. 1936.) – egyszerűbben: az Általános elmélet.) Általános elméletében többek között arra a következtetésre jutott, hogy a válság idején az állam képes arra, hogy fiskális eszközökkel, például infrastrukturális beruházásokkal, de mesterségesen fenntartsa a hatékony keresletet, ezzel az egyensúlyhoz közelítse a gazdaságot és csökkentse a munkanélküliséget. Az állam aktív beavatkozása tehát ilyen esetekben mindenki számára hasznos. 1945 után újra népszerű lett a határhaszon iskola. Ennek a neve a neoklasszikus közgazdaságtan, ami a közgazdaság-tudománynak a 1890-1929 időszaka után ismét a 20. század első harmadának domináns iskolája volt. Az 1973-1979-es olaj válság után a termelési függvény számítás és a határhaszon elmélet megint a háttérbe szorult.
A termelési függvények becslése egy tényezőváltozó esetén.
A kiválasztott ágazat a növénytermesztés köréből a kukorica termelése. A kukorica számára a fő tápelemek a nitrogén, a foszfor és a kálium. A felsorolt tényezők közül előzetes vizsgálatok alapján a nitrogén N-tartalom [kg/ha] hatását vizsgáltuk. (ha=hektár=10000 m2) Feltételeztük tehát, hogy a termésátlag egyetlen tényezőtől, a műtrágyák nitrogén adagjától függ. Az N-tartalom növelése először javítja az átlaghozam értékét, de egy bizonyos szinten felül, az átlaghozam csökkeni fog, mert a nitrogén felesleges többlete elveszik a földben, nitrátosodik a víz, szikessé válhat a föld, növekednek a költségek stb. A számításoknak az volt az eredménye, hogy 124 kg/ha N-felhasználásig az átlaghozamok nőnek, azt követően pedig csökkennek, s az összefüggés másodfokú parabolával jól leírható. Az N-tartalom növekedésének a hatása más növényfajták, pl. a búza esetén is kimutatható. (Forrás: Sárdi Katalin: Tápanyag-gazdálkodás. 2011.)
A CES-termelési függvény.
A hatványkitevős regressziós (Cobb – Douglas – típusú) termelési függvények széleskörű elterjedése, népszerűsége a függvény egyszerű és könnyen kezelhető matematikai alakjának tulajdonítható. Probléma viszont az, hogy a helyettesítési rugalmasság értéke előre rögzített, eggyel egyenlő érték lehet csak. Ezt a korlátot oldották fel a CES (állandó helyettesítési rugalmasságú) termelési függvény kidolgozói. A CES függvénynél a helyettesítési rugalmasság értékét a konkrét termelési függvény eredményeként határozzák meg. Ebben az esetben a helyettesítési rugalmasság állandó, de nem feltétlenül egyenlő eggyel, viszont értéke nem lehet negatív. A CES függvény öt becsült paraméterével sokoldalúbban írja le a fejlődést, mint a három paraméteres Cobb-Douglas termelési függvény. Ugyanakkor a CES függvény becslése bizonyos problémákat vet fel. Szükség van a munkaerő és az állóeszköz “ára” becslésére és ez sok bizonytalanságot visz a modellbe. Iterációs eljárással viszont a munkaerő és az állóeszköz “ára” ismerete nélkül is meghatározható az a függvény, ami mellett a többszörös determinációs együttható (R2) értéke a legnagyobb. A CES-függvényt 1961-ben alkották meg az úgynevezett stanfordi kör tagjai, Kenneth Arrow, Hollis Burnley Chenery, Bagicha Singh Minhas és Robert Merton Solow.
A CES-függvény becslésére 3 módszert dolgoztunk ki.
Módszer CES1.xls
Feltételezzük, a munkaerő és az állóeszköz “ára” adatokat nem ismerjük. A hogy Keresés gombra kattintva a program megkeresi azt a helyettesítés rugalmasság, illetve az ebből számított helyettesítési paraméter értéket és az elosztási paramétereket, A2 illetve az ebből számított A1 értéket, amelyek esetében az illesztés a legjobb, tehát a többszörös determinációs együttható (R2) a legnagyobb. Ha A2 és p ismert, a paraméterek a regressziós függvénnyel becsülhetők. A CES-függvény:
Módszer CES2.xls
A CES függvény kidolgozói, abból indultak ki, hogy a munka átlagos termelékenysége és a munkabér közötti empirikus összefüggés magában foglal egy hatványkitevős regressziós függvényt. Az alábbi összefüggésből kiindulva, mindkét oldalt logaritmizálva, a munkabér (v) kitevőjét c-vel jelölve, a következő segéd függvényhez jutottak.
Ahol:
v = az egységnyi munkaerő-tényező ára (pl. az összes munkabér [vagy bérköltség, vagy reálbér stb.] osztva a figyelembe vett munkatényező [x1] mennyiségével)
A c=helyettesítési rugalmasság összefüggést felhasználva a helyettesítési paraméter (p) is meghatározható. Az egyenlet becslését úgy végezhetjük el, hogy az A2 értékét változtatjuk, s azt a változatot fogadjuk el, ahol az R2 a legnagyobb és a regressziós modell, az elméleti feltételeknek eleget tesz. A p tehát ismert, így az értékét kell változtatni a 0 és 1 intervallumban és megkeresni azt az értéket, ahol a többszörös determinációs együttható (R2) a legnagyobb.
Módszer CES3.xls
A módszer alkalmazásához szükség van a munkaerő (v) és az állóeszköz (r) árára is. Feltételezzük, hogy a CES függvény folytonos és létezik az elsőrendű és másodrendű parciális deriváltja. Az elsőrendű parciális derivált [a határtermelékenység] pozitív, ami azt jelenti, hogy a megfelelő termelési tényező növelésével a termelés is nő. Ez a feltétel a termelési függvény növekvő jellegére utal. A parciális deriváltakat meghatározva, bizonyítható, hogy a CES termelési függvénynél, az élőmunka és a holtmunka határtermelékenységének hányadosa, a helyettesítési határarány s1. Ezt követően a CES-függvény becsülhető.
Oktatási termelési függvények.
Az oktatási termelési függvényeknek az 1960-as évektől kezdve nagy irodalma van az USA-ban. Ld.:
Education economics. Wikipédia. A témakör egyik legismertebb kutatója Eric Hanushek (1943-)
Az oktatásra alkalmazott termelési függvények a következő elgondolásból indulnak ki. Az oktatási intézmények különböző erőforrásokat használnak fel, például a tanulók idejét, tanárokat, felszereléseket, és ezek segítségével növelik a tanulók tudását és képességeit. Az oktatási termelési függvény az iskolázási folyamat eredménye (outputja) és a mérhető ráfordítások (inputok) közötti kapcsolatot írja le. Ha ismernénk az oktatási termelési függvényt, akkor előre jelezhetnénk, hogy milyen hatása lesz annak, ha megnöveljük az oktatás különféle erőforrásait, például több tanárt alkalmazunk, csökkentjük az osztálylétszámot, vagy ha erőforrásokat vonunk ki az oktatásból. Az oktatási termelési függvények meghatározásához először meg kell határozni és meg kell mérni az oktatási outputot, az oktatási folyamat inputjait, és végül, szükség van a termelési függvény specifikációjára, azaz annak meghatározására, hogy milyen módon befolyásolják a bemeneti adatok a kimenetieket, vagyis, hogy milyen a termelési függvény alakja.
Forrás: Varga Júlia: Oktatási termelési függvények.
A felsőfokú végzettséggel rendelkezők százalékos aránya és az egy főre jutó GDP alakulása között kapcsolat mutatható ki, országonkénti bontásban. Feltételezhető, hogy az egy főre jutó GDP növekedésével a felsőfokú végzettséggel rendelkezők százalékos átlagos aránya is növekszik.
Vizsgálni szokták az alapbér, illetve a kereset, jövedelem (mennyiségi változó) és az iskolai végzettség (minőségi változó) közötti kapcsolatot leíró bérregressziós függvényt.
A feldolgozásokban fontosak az OECD oktatási statisztikák.
Akit érdekel a témakör és szeretne számításokat is elvégezni, az alábbi két a MEK-ben megjelent könyvet ajánlom:
Kehl Dániel – Sipos Béla. Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben. OSZK. MEK.
https://mek.oszk.hu/22800/22804/
Sipos Béla. Termelési függvények felhasználása elemzésre. OSZK. MEK.
https://mek.oszk.hu/24700/24794/
A szerző az MTA doktora, professor emeritus a Pécsi Tudományegyetem Közgazdaságtudományi Karán.